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高數(shù)證明兩直線相交 高數(shù)證明題的解題技巧篇一

支 撐 材 料(二)

貴州大學(xué) 2006年6月

支撐材料目錄

一、課程簡(jiǎn)介

二、《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)大綱

三、示范教學(xué)用課件及教案

四、教學(xué)改革項(xiàng)目

1、貴州省高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃項(xiàng)目。

五、教學(xué)改革論文

1、向淑文等，數(shù)學(xué)教學(xué)方法、手段及考評(píng)內(nèi)容和方法的研究與創(chuàng)新，《發(fā)展創(chuàng)新改革-世行貸款二十一世紀(jì)初高等理工科教育教學(xué)改革項(xiàng)目結(jié)題成果匯編》，教育部高等教育司編，高等教育出版社，pp.51-55。

2、周國(guó)利、王錫貴，加強(qiáng)素質(zhì)教育，提高教學(xué)質(zhì)量，貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），1999.9，pp.33－334。

3、明祖芬、韋維、張大凱，計(jì)算方法課件寫作介紹，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998.11，pp.276－279。

4、黃敏，數(shù)理統(tǒng)計(jì)在試卷分析中的應(yīng)用，玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004年第3期，pp.10－13。

5、明祖芬，參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的一種逐次求導(dǎo)法，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)，2001.3，pp.218－220。

6、明祖芬，談?wù)剶?shù)值分析課的教學(xué)與課件寫作，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)，1997.7，pp.72－74。

7、彭長(zhǎng)根、蔡紹洪、樊玫玫，任登鴻，基于internet的實(shí)驗(yàn)室評(píng)估系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)，2004.8，pp.307－312。

8、胡堯，羅文俊，改進(jìn)gauss消去法求解線性方程組，貴州大學(xué)學(xué)報(bào)，2004.5，pp.127－131。

9、周永輝，中國(guó)工科微積分學(xué)教材發(fā)展史上的“兩個(gè)移植”，貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2001.2，pp.64－68。

10、周永輝，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育管理與研究，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000.8，pp.76－80。

六、學(xué)術(shù)論文

1、jian yu、shu-wen xiang,the stability of the set of kkm points,nonlinear analysis 54(2003)839-844

2、shuwen xiang、yonghui zhou,on essential sets and essential components of efficient solutions for vector optimization problems,.315(2006)317-326

3、shu-wen xiang、gui-dong liu、yang-hui zhou,on the strongly essential components of nash equilibria lf infinite n-person games with quasiciconcave payoffs, nonlinear analysis 63(2005)e2639-e2647

4、yong-hui zhou , shu-wen xing , and hui yang , stability of solutions for ky fan’s section theorem with some applications , nonlinear analysis 62(2005)1127-1136

5、 , , continuity properties of solutions of vector optimizations , nonlinear analysis 64(2006)2496-2506

6、wei wei and , optimal control for a class of nonlinear impulsive equations in banach spaces, nonlinear analysis 36(2005), e53-e63.7、weiwei and , global solvablity for a singlar nonlinear maxwell’s equations, communications on pure and applied analysis，4(2005), 431-444.8、wei wei、hong-ming yin ,numerical solutions to bean’s critical-staye

model

for

type-ⅱ of superconductors,inyernational journal numerical analysis and modeling, 2(2005)473-488

七、教學(xué)成果及有關(guān)獲獎(jiǎng)證書

1、周國(guó)利，貴州省高等學(xué)校教學(xué)名師證書，貴州省教育廳，2003.7.2、周國(guó)利，1999貴州省普通高等學(xué)校教學(xué)管理先進(jìn)個(gè)人，貴州省教育委員會(huì)，1999.6

3、楊輝、胡支軍、向淑文、劉真祥、黃敏，開展數(shù)學(xué)建摸教學(xué)、促進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，貴州省高等教育教學(xué)成果獎(jiǎng)省級(jí)二等獎(jiǎng)，貴州省教育廳，2001.12

4、明祖芬、韋維，“計(jì)算方法”課課堂教學(xué)現(xiàn)代化的探索與實(shí)踐，省級(jí)三等獎(jiǎng)，貴州省教育廳，2001.8

5、明祖芬，堅(jiān)持教學(xué)改革、努力提高教學(xué)質(zhì)量，校級(jí)優(yōu)秀教學(xué)成果一等獎(jiǎng)，貴州大學(xué)，1991.11.6、明祖芬、韋維，計(jì)算方法課件寫作，理工學(xué)院優(yōu)秀教學(xué)成果優(yōu)秀獎(jiǎng)，貴州大學(xué)理工學(xué)院，2000.10.7、貴州大學(xué)理學(xué)院，全國(guó)高等學(xué)校教學(xué)研究會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科委員會(huì)單位委員，全國(guó)高等學(xué)校教學(xué)研究會(huì)，2003.7.8、向淑文，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀組織工作者，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，2001.9、楊輝，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，2001.10、胡支軍，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀指導(dǎo)教師，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，2001.11、舒亞東、萬(wàn)亞兵、舒勇，2005年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽甲組一等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2005

12、張亞軍、常江、王耀星，2005年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽甲組二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2005

13、常江等，2005年高教杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽甲組二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2005

14、崔巍等，2004年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽甲組二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2005

15、學(xué)生：楊應(yīng)明、鄧一斌、侯先培，指導(dǎo)教師：戴佳佳等，2003年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2003

16、學(xué)生：王曉娟、徐喜虹、李再弟，指導(dǎo)教師：楊光惠等，2003年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2003

17、田玉蓮等，2002年高社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2002

18、胡思貴、陳昌恒、徐鳳美，2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2001。

19、學(xué)生：羅小林等，指導(dǎo)教師：胡支軍，2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)二等獎(jiǎng)，中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，2001 20、陳杰等，2001年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，教育部高等教育司、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2001

21、學(xué)生：張仕學(xué)、夏仁強(qiáng)、曾斌，指導(dǎo)教師：胡支軍，2000年網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)一等獎(jiǎng)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)組委會(huì)、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2000

22、學(xué)生：李進(jìn)宇等，指導(dǎo)教師：胡支軍，2000年網(wǎng)易杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)一等獎(jiǎng)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)組委會(huì)、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，2000

23、學(xué)生：陳明慶等，指導(dǎo)教師：楊輝，99年創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽聯(lián)合賽區(qū)二等獎(jiǎng)，中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，1999

24、學(xué)生：何光發(fā)等，指導(dǎo)教師：胡支軍，1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽聯(lián)合賽區(qū)一二等獎(jiǎng)，中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，1998

25、學(xué)生：唐云飛等，指導(dǎo)教師：楊輝，1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽聯(lián)合賽區(qū)一二等獎(jiǎng)，中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，1998

26、學(xué)生：左建軍等，指導(dǎo)教師：胡支軍，99年創(chuàng)維杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)，中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，1999。

27、郭正林，1999年事業(yè)單位工作人員考核優(yōu)秀，貴州大學(xué)，2000.3

28、明祖芬，社會(huì)主義精神文明建設(shè)創(chuàng)建1997--1998先進(jìn)個(gè)人，中共貴州大學(xué)委員會(huì)、貴州大學(xué)，1999.5

29、明祖芬，1997年事業(yè)單位工作人員考核優(yōu)秀，貴州大學(xué)，1998.3

30、明祖芬，貴州大學(xué)“先進(jìn)教師”，貴州大學(xué)，1998.9

八、編寫出版教材書目

1、廖代明、黃朝芬、劉治修，高等學(xué)校?？圃囉媒滩摹陡叩葦?shù)學(xué)》（上下冊(cè)），貴州人民出版社

2、何偉保、張民選，《數(shù)值分析》，貴州科技出版社

3、周國(guó)利、況山，高等學(xué)校教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，重慶大學(xué)出版社

4、張方南、張民選、白世恒、李聲慶，高等學(xué)校教材《高等數(shù)學(xué)》(上下冊(cè))，貴州人民出版社

高數(shù)證明兩直線相交 高數(shù)證明題的解題技巧篇二

1+1為何等于2.首先，我認(rèn)為這并不是數(shù)學(xué)問題。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，不管世間萬(wàn)物，或者宇宙中其他帶生命的生物，都會(huì)有自己的文化，小至一族，大至國(guó)家。那么身處地球，我們就有我們自己的文化。有些時(shí)候，當(dāng)我在看一個(gè)字的時(shí)候，比如“我”，我在思考，這個(gè)字“我”為什么念wo呢？

而且，有時(shí)候我會(huì)想，什么是經(jīng)典？這在我的腦中似乎并沒有準(zhǔn)確的定義，后來(lái)我發(fā)覺，當(dāng)很多人認(rèn)為這個(gè)東西經(jīng)典的時(shí)候，我似乎理所應(yīng)當(dāng)?shù)囊矔?huì)對(duì)別人說(shuō)這個(gè)東西很經(jīng)典。甚至當(dāng)初我都不知道自己為什么會(huì)喜歡邁克爾杰克遜，后來(lái)，我才發(fā)現(xiàn)，因?yàn)楹芏嗳讼矚g他，不知而覺得我也喜歡上了，似乎這成為理所當(dāng)然的了。

就現(xiàn)今社會(huì)，當(dāng)你坐著飛機(jī)高高興興的飛往夏威夷，當(dāng)你上班時(shí)開著汽車，當(dāng)你午餐時(shí)叫便當(dāng)，甚至當(dāng)你生氣口不擇言時(shí)，這都是文化，人類發(fā)展至今的積淀物。并且，我們都站在這文化更新延續(xù)的長(zhǎng)線之上。這與固定資本更新是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一大要素同理。人類創(chuàng)建資本，但還需依靠著資本，不斷繁衍與更新，以創(chuàng)造出更優(yōu)秀的固定資本，使生活變得更好一些。到了這你有可能說(shuō)，為什么會(huì)有文化呢？他如何產(chǎn)生并如何繁衍？它并沒有準(zhǔn)確的定義，據(jù)統(tǒng)計(jì)，有關(guān) “文化” 的各種不同的定義至少有二百多種。綜合一下就是指文化是一種社會(huì)現(xiàn)象，是人們長(zhǎng)期創(chuàng)造形成的產(chǎn)物。同時(shí)又是一種歷史現(xiàn)象，是社會(huì)歷史的積淀物。確切地說(shuō)，文化是指一個(gè)國(guó)家或民族的歷史、地理、風(fēng)土人情、傳統(tǒng)習(xí)俗、生活方式、文學(xué)藝術(shù)、行為規(guī)范、思維方式、價(jià)值觀念等。并且，由于文化的普及性，我認(rèn)為，文化的產(chǎn)生不是個(gè)體的，而是由群體產(chǎn)生，然后會(huì)發(fā)生連續(xù)性的效應(yīng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的制度是君主制。且又因?yàn)橛泻芏嗳俗冯S它，必然會(huì)引來(lái)更多人，還將會(huì)引來(lái)好多人。其實(shí)，你可以把它看做是一種潮流，地球上的文化都可以看做是潮流，前提是，有文化的潮流，是有趨向性的，而無(wú)文化的潮流，是盲目的隨眾。樂嘉有句話說(shuō)，我非常厭惡潮流，并且認(rèn)為那是很俗的東西。如今我方知道，它既然有那么多人追逐著，必然有其可取之處，所以，我想了解它，必須先接近它，甚至走進(jìn)它?，斞盼幕?，中國(guó)幾千年文化，他既然有如此多人追隨，必然有其優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)然，你可以對(duì)現(xiàn)今的文化不屑一顧，甚至不隨著潮流來(lái)了解它，那么，大清閉關(guān)鎖國(guó)的教訓(xùn)就是你的榜樣，你會(huì)落伍，會(huì)脫離時(shí)代，與現(xiàn)今的人類不合群，因?yàn)槠渌硕荚诟@個(gè)世界的大潮流的腳步。

什么是潮流？“潮流”的定義就是流行趨勢(shì)的動(dòng)向，引申意思是社會(huì)變動(dòng)或發(fā)展的趨勢(shì)。所以說(shuō)，當(dāng)你問我為什么1+1=2？我只能回答你，那是一種文化，一種你所處之地的文化，一種你在此地生活不得不認(rèn)同的文化。所以，當(dāng)你認(rèn)同它，你就進(jìn)了1+1=2的這個(gè)潮流之中。因?yàn)?，認(rèn)同的不止是你自己一個(gè)人。

所以，當(dāng)你疑惑1+1為什么等于2的時(shí)候，你不妨去思考，你說(shuō)出這句話的每一個(gè)字？和別人又為何知道你說(shuō)這句話的意思。

高數(shù)證明兩直線相交 高數(shù)證明題的解題技巧篇三

證明1+1=2的一種思路

我們知道1+1=2，1+2=3，那么一加一任何情況都等于二嗎？如果說(shuō)1+1=1/2,1+2=2/3,你信嗎？你是否認(rèn)為這不可能？

我們知道物理中引入一個(gè)新物理量----度速。為了了解這個(gè)詞，我在這再說(shuō)一下，大家勿嫌啰嗦。我們知道“不同的運(yùn)動(dòng)，快慢程度并不相同，有時(shí)相差很大.要比較物體運(yùn)動(dòng)的快慢，可以有兩種辦法.一種是在位移相同的情況下，比較所用時(shí)間的長(zhǎng)短，時(shí)間短的，運(yùn)動(dòng)得快.比如在百米競(jìng)賽中，運(yùn)動(dòng)員甲用10s跑完全程，運(yùn)動(dòng)員乙用11s跑完全程，甲用的時(shí)間短，跑得快.另一種是在時(shí)間相同的情況下，比較位移的大小，位移大的，運(yùn)動(dòng)得快.汽車a在2h內(nèi)行駛80km，汽車b在2h內(nèi)行駛170km，汽車b運(yùn)動(dòng)得快.那么，運(yùn)動(dòng)員甲和汽車a，哪個(gè)快呢？這就要找出統(tǒng)一的比較標(biāo)準(zhǔn)，我們引入速度的概念.速度是表示運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，它等于位移s跟發(fā)生這段位移所用時(shí)間t的比值.用v表示速度，則有

? 在國(guó)際單位制中，速度的單位是”米每秒“，符號(hào)是m/s（或ms-1）。常用的單位還有千米每時(shí)（km/h或kmh-1）、厘米每秒（cm/s或cms-1）等等.速度不但有大小，而且有方向，是矢量.速度的大小在數(shù)值上等于單位時(shí)間內(nèi)位移的大小，速度的方向跟運(yùn)動(dòng)的方向相同.”那么，我們?yōu)槭裁床挥玫谝环N方式描述問題運(yùn)動(dòng)的快慢呢？在位移相同的情況下，比較所用時(shí)間的長(zhǎng)短。用的時(shí)間短，跑得快；用的時(shí)間長(zhǎng)，跑得慢。你是否覺得這樣描述沒有意義或者區(qū)別？不要笑，用劉謙的話說(shuō)，下面就是讓我們見證奇跡的時(shí)刻。

在位移相同的情況下，比較所用時(shí)間的長(zhǎng)短。用的時(shí)間短，跑得快；用的時(shí)間長(zhǎng)，跑得慢。這句話怎理解呢？除了首段的理解，我們繼續(xù)往下想就變成：物體在任何時(shí)刻都是存在與空間中的，物體呆在空間中任一點(diǎn)是有一定時(shí)間的。寫成公式的形式就是，z=1/v=t/s.對(duì)于z我們可以引入物理概念，由于z等于速度的倒數(shù)，我們可以叫度速。那么度速的單位就是“秒每米”，符號(hào)是s/m.度速跟速度一樣，不但有大小，而且有方向，是矢量。度速的大小在數(shù)值上等于單位空間內(nèi)時(shí)間的長(zhǎng)短，度速的方向跟運(yùn)動(dòng)的方向相同。例如在上面‘ 比如在百米競(jìng)賽中，運(yùn)動(dòng)員甲用10s跑完全程，運(yùn)動(dòng)員乙用11s跑完全程，甲用的時(shí)間短，跑得快。'

中甲的度速就是z=t/s=10-1(s/m), 那么，時(shí)間過了10秒時(shí)，甲跑完一百米，或說(shuō)10秒后甲處在一百米外的點(diǎn)上。

度速的運(yùn)算需要新的運(yùn)算公式。度速的運(yùn)算公式。根據(jù)z=1/v，我們可以算出v,在得出z。如果用a,b表示兩個(gè)度速，那么 a+b=ab/(a+b).例如速度是2和3,那么度速就是1/2和1/3.1/2加上1/3就等于1/5.速度是1/2和1/3,那

么度速就是2和3.2加3就等于6/5.（見《運(yùn)動(dòng)的另一種描述》）在躍遷中，周期的運(yùn)算可能也適用，還有康普頓效應(yīng)。

所以我們得出有物理意義的算法，1+1=1/2。僅供參考。a-b=(b-a)/ab。參考系度速變換。

高數(shù)證明兩直線相交 高數(shù)證明題的解題技巧篇四

1+1為什么等于二

當(dāng)年歌德巴赫寫信給歐拉，提出這么兩條猜想：（1）任何大于2的偶數(shù)都能分成兩個(gè)素?cái)?shù)之和（2）任何大于5的奇數(shù)都能分成三個(gè)素?cái)?shù)之和 很明顯，（2）是一的推論（2）已經(jīng)被證明，是前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家伊·維諾格拉多夫用“圓法”和他自己創(chuàng)造的“三角和法”證明了充分大的奇數(shù)都可表為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和，就是著名的三素?cái)?shù)定理。在歌德巴赫猜想的證明過程中，還提出過這么個(gè)命題：每一個(gè)充分大的偶數(shù)，都可以表為素因子不超過m個(gè)與素因子不超過n個(gè)的兩個(gè)數(shù)之和。這個(gè)命題簡(jiǎn)記為“m+n” 顯然“1+1”正是歌德巴赫猜想的基礎(chǔ)命題，“三素?cái)?shù)定理”只是一個(gè)很重要的推論。1973年，陳景潤(rùn)改進(jìn)了“篩法”，證明了“1+2”，就是充分大的偶數(shù)，都可表示成兩個(gè)數(shù)之和，其中一個(gè)是素?cái)?shù)，另一個(gè)或者是素?cái)?shù)，或者是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。陳景潤(rùn)的這個(gè)證明結(jié)果被稱為“陳氏定理”是至今為止，歌德巴赫猜想的最高記錄.最后要證明的是1+1

假設(shè)：

用以下的方式界定0，1和2(, mathematical logic, revised ed., ch.6, §43-44)：

0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}:= {x: y(yεx.&.x{y}ε0)}:= {x: y(yεx.&.x{y}ε1)}

〔比如說(shuō)，如果我們從某個(gè)屬于1這個(gè)類的分子拿去一個(gè)元素的話，那麼該分子便會(huì)變成0的分子。換言之，1就是由所有只有一個(gè)元素的類組成的類?！超F(xiàn)在我們一般采用主要由 von neumann 引入的方法來(lái)界定自然數(shù)。例如：0:= ∧, 1:= {∧} = {0} =0∪{0},2:= {∧,{∧}} = {0,1} = 1∪{1}

[∧為空集]

一般來(lái)說(shuō)，如果我們已經(jīng)構(gòu)作集n, 那麼它的后繼元(successor)n* 就界定為n∪{n}。

在一般的集合論公理系統(tǒng)中（如zfc）中有一條公理保證這個(gè)構(gòu)作過程能不斷地延續(xù)下去，并且所有由這構(gòu)作方法得到的集合能構(gòu)成一個(gè)集合，這條公理稱為無(wú)窮公理(axiom of infinity)(當(dāng)然我們假定了其他一些公理（如并集公理）已經(jīng)建立。

〔注：無(wú)窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以russell 為代表的邏輯主義學(xué)派的某些主張?jiān)谧顕?yán)格的意義下不能實(shí)現(xiàn)?！?/p>

跟我們便可應(yīng)用以下的定理來(lái)定義關(guān)于自然數(shù)的加法。

定理：命“|n”表示由所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射a：|nx|n→|n，使得它滿足以下的條件：

(1)對(duì)于|n中任意的元素x，我們有a(x,0)= x ；

(2)對(duì)于|n中任意的元素x和y，我們有a(x,y*)= a(x,y)*。

映射a就是我們用來(lái)定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：

(1)x+0 = x ；(2)x+y* =(x+y)*。

現(xiàn)在，我們可以證明“1+1 = 2” 如下：

1+1

= 1+0*(因?yàn)?1:= 0*)

=(1+0)*(根據(jù)條件(2))

= 1*(根據(jù)條件(1))

= 2(因?yàn)?2:= 1*)

〔注：嚴(yán)格來(lái)說(shuō)我們要援用遞歸定理(recursion theorem)來(lái)保證以上的構(gòu)作方法是妥當(dāng)?shù)?，在此不贅。]

1+ 1= 2“可以說(shuō)是人類引入自然數(shù)及有關(guān)的運(yùn)算后”自然“得到的結(jié)論。但從十九世紀(jì)起數(shù)學(xué)家開始為建基于實(shí)數(shù)系統(tǒng)的分析學(xué)建立嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)后，人們才真正審視關(guān)于自然數(shù)的基礎(chǔ)問題。我相信這方面最”經(jīng)典“的證明應(yīng)要算是出現(xiàn)在由russell和whitehead合著的”principia mathematica“中的那個(gè)。

我們可以這樣證明”1+1 = 2"：

首先，可以推知：

αε1(∑x)(α={x})

βε2(∑x)(∑y)(β={x,y}.&.~(x=y))

ξε1+1(∑x)(∑y)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))

所以對(duì)于任意的集合γ，我們有

γε1+1

(∑x)(∑y)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))

(∑x)(∑y)(γ={x,y}.&.~(x=y))

γε2

根據(jù)集合論的外延公理(axiom of extension)，我們得到1+1 = 2